微积分不复杂

刘庄主

在没学习微积分但是听说过微积分的是时候，你可能觉得微积分挺复杂的。

左图，求红色图块面积。难住中学生了。
但是，用微积分思维，其实很简单。
微积分，分微分和积分两步。
矩形面积，就是长方形面积，是不是太简单了？长乘高嘛。
难住你的是不是“高”？曲里拐弯儿的，那是多少呀？
你还相信你的眼睛，明显左图红色曲线要比右图的矩形直线高要长嘛，宽一样，高变长了，那面积能一样吗？
微分，就是把不规则图形给它分割成很多很多个细小的矩形，要多细有多细，要多小有多小，直到你认可那是矩形，矩形的面积你会做吧？
积分，就是把你那很多很多个细小的矩形的面积求和，求和，你会吧？
这就是微积分。
庄主是当过老师的，刘老师还这么教你一下儿。
你把右图红矩形色块儿用剪刀（想象即可）剪开，一丝一丝的，然后，你把一丝一丝的小细条儿按左图红色块那样错动粘起来。你说，面积变了没？


最后，刘老师让你彻底明白，障你眼的曲线，其实它是无数个小小的垂直线段错动摆放，你可以想象是20万根筷子错动摆放，你在天上看，哦，曲线，其实呢，20万根筷子的总长始终是那么长。

窥天瞳

算了，不知道抖音哪个半桶水脑子一热想出来的论证。你这个图比较标准，好像红色部分是等宽的，但是告诉你，只要等宽，把绿色部分右移，就重合不了！那一条直线画的非常外行，还需要在非顶点画一条。

刘庄主

窥天瞳 发表于 2025-7-2 12:21
算了，不知道抖音哪个半桶水脑子一热想出来的论证。你这个图比较标准，好像红色部分是等宽的，但是告诉你， ...

我就是把知音的图搬来了。
为啥不能重合？

窥天瞳

刘庄主 发表于 2025-7-2 12:24
我就是把知音的图搬来了。
为啥不能重合？

你在不是顶点的曲线位置再画一条宽度线，该怎么画？

窥天瞳

有个更简单的办法，你把一张矩形的纸沿着曲线剪开，然后水平拖动一部分，看看中间的距离是不是等宽线就明白了。至少和你这个图里面的部分是不一样的。那个图是想象出来的，根本经不起实际论证。

没有原因

放一摞书

刘庄主

没有原因 发表于 2025-7-2 12:43
放一摞书

没有原因

刘庄主 发表于 2025-7-2 13:07

等底等高，平行四边形面积和长方形面积一样的

刘庄主

窥天瞳 发表于 2025-7-2 12:37
有个更简单的办法，你把一张矩形的纸沿着曲线剪开，然后水平拖动一部分，看看中间的距离是不是等宽线就明白 ...

借左图说，
沿黄色块的右边线剪开（成为黄绿两张纸），水平（向右）拖动绿色部分，移开的空间就是红色块部分，怎么会宽度不同？

大志

老流行啊，会微积分

刘庄主

大志 发表于 2025-7-2 13:14
老流行啊，会微积分

现在做题肯定是不行了，但是最基础的原理还是掌握的。

刘庄主

没有原因 发表于 2025-7-2 13:10
等底等高，平行四边形面积和长方形面积一样的

书摞的直不直，胖瘦不变。

周文王

窥天瞳 发表于 2025-7-2 12:37
有个更简单的办法，你把一张矩形的纸沿着曲线剪开，然后水平拖动一部分，看看中间的距离是不是等宽线就明白 ...

数学和几何，都是理念。

这个图表示的也是理念。

其实左图，那两根曲线，

是同一根曲线的平移。

就是完全相等的两根曲线。

用剪刀剪纸，

那是物理实在。

周文王

比如有一种视频，专门讲机械误差的，

说是一套零件，零误差嵌套在一起，

比德国的还先进，如何如何。

这是物理实在，

还是有误差。

离理念还差的远。

大志

刘庄主 发表于 2025-7-2 13:16
现在做题肯定是不行了，但是最基础的原理还是掌握的。

你是学进肚子了，咱都还给老师咧👨🏻‍🏫

刘庄主

周文王 发表于 2025-7-2 13:17
数学和几何，都是理念。

这个图表示的也是理念。

两条曲线是一条曲线平移开。

周文王

刘庄主 发表于 2025-7-2 13:21
两条曲线是一条曲线平移开。

用剪刀剪纸，

那肯定行不通的。

知音

周文王 发表于 2025-7-2 13:26
用剪刀剪纸，

那肯定行不通的。

刚要夸你理解正确，怎么就掉链子了呢？

刘庄主

周文王 发表于 2025-7-2 13:26
用剪刀剪纸，

那肯定行不通的。

理论必须有假定前提，我们学力学，很多都建立在受力体是刚体之上的。
剪刀剪纸，剪刀不能有豁牙子，纸里不能有沙粒。

知音

小学生没学过微积分，但是看了这个图也应该能理解。

实际上，那个题就是这个题的变种：

知音

看了这个图还不能恍然大悟的人，就是先入为主的理念太深了。

刘庄主

知音 发表于 2025-7-2 13:53
小学生没学过微积分，但是看了这个图也应该能理解。

实际上，那个题就是这个题的变种：

周文王

知音 发表于 2025-7-2 13:29
刚要夸你理解正确，怎么就掉链子了呢？

我是说大眼睛，

他要用剪刀剪纸去对齐两边的曲线，

这个方法行不通的啊。

什么纸，什么剪刀，什么手都剪不出那个严丝合缝的效果的，

总会存在误差的。

这是数学和物理的区别，

数学是纯理念，

物理是现实世界，存在误差。

窥天瞳

知音 发表于 2025-7-2 13:53
小学生没学过微积分，但是看了这个图也应该能理解。

实际上，那个题就是这个题的变种：

这个题就是错的，等宽的曲线是无法重合的。今天很多孩子被误导，就是因为教育界除了太多的垃圾，自己数学学成这样，还玩创新。

窥天瞳

知音 发表于 2025-7-2 13:54
看了这个图还不能恍然大悟的人，就是先入为主的理念太深了。

你把一张纸按照他的弧线剪开，水平向外拉，看看得到的曲线是不是和他的图里形状一样？你会发现曲线弧度越大，越不等宽。

窥天瞳

周文王 发表于 2025-7-2 19:32
我是说大眼睛，

他要用剪刀剪纸去对齐两边的曲线，

你只是把纸照着那个弧线剪成两半不难吧？，然后水平拉开，看看中间的弧线和图里一样不一样？

周文王

窥天瞳 发表于 2025-7-2 19:41
你只是把纸照着那个弧线剪成两半不难吧？，然后水平拉开，看看中间的弧线和图里一样不一样？

是啊，可以这么剪，

这么剪是剪一刀的减法，

两边拉开，就是一条曲线，

平行拉开的意思，

两者完全等效。

你的意思是，用剪刀剪的，

效果不一样吗？

知音

这两张纸长宽一样的，把下面那张沿曲线剪开，其中一半向左移动2厘米。



变成这样了，左面多出来的面积就是中间空出来的面积。




在这个基础上出题，就万变不离其宗了。

窥天瞳

知音 发表于 2025-7-2 20:47
这两张纸长宽一样的，把下面那张沿曲线剪开，其中一半向左移动2厘米。

这就是了，你看移开的黑色，宽度是相等的吗？那是有宽有窄的，只有这样，才能实现重合。原题中是写明等宽的，不是竖直距离或水平距离相等。

刘庄主

窥天瞳 发表于 2025-7-2 20:55
这就是了，你看移开的黑色，宽度是相等的吗？那是有宽有窄的，只有这样，才能实现重合。原题中是写明等宽 ...

怎么是不等宽呢？曲线上的每个点都是平移2厘米，你怎么会认为不等宽呢？