雪花曲线与海岸线悖论（二）

老贾

霓裳旖旎 发表于 2021-4-6 17:38
文字好理解不用理解女人

好，改天写点

四九

老贾 发表于 2021-4-6 13:44
实际中肯定要确定一个测量间隔，我还没查。

如果有个间隔与方法，对于实操意义极大。

四九

尤美 发表于 2021-4-6 14:20
应该说是以卫星原始数据为准，做实用化修整。

比如说，理论上以山脊为准的国境线，实际不可能完全绝对 ...

最终是要找到标准与方法。

老贾

四九 发表于 2021-4-6 18:28
最终是要找到标准与方法。

对，现实中的操作需要统一的标准规范，我相信肯定有的。

风铃清音飘渺

‘面积是有限的’，好理解
‘而周长是无限的’，不好理解。

老贾

风铃清音飘渺 发表于 2021-4-6 19:34
‘面积是有限的’，好理解
‘而周长是无限的’，不好理解。

这个问题的魅力就在这里。

风铃清音飘渺

老贾 发表于 2021-4-6 19:48
这个问题的魅力就在这里。

也许正是悖论所在？

老贾

风铃清音飘渺 发表于 2021-4-6 19:52
也许正是悖论所在？

其实这不是悖论，是很难接受的结论。

天干物燥

这其实就是无限小的另一种描述方式，只要线可以不断变细，曲线就可以不断延长。

老贾

天干物燥 发表于 2021-4-7 08:25
这其实就是无限小的另一种描述方式，只要线可以不断变细，曲线就可以不断延长。

也有道理。

啊哩哩啊

前些天手机上匆匆一瞥，看到有这个问题的讨论，觉得很有趣。今天来说说我的理解，和大家探讨探讨，可能不一定对，楼主不会怪我吧？说错了请指正。

楼主上述的计算，我感觉有点问题。既然说到分形，大概就不能按这个思路考虑问题。分形的特点是自相似性，无标度性。自相似性是有分层结构的，是个嵌套的层次结构，像楼主给出的那个图形，是科赫岛分形，可以无限迭代；而任何一个细部的放大，不管放大几倍，与原图相比，都是一样的，没有特征尺度却含有一切尺度的要素。数学的分形，可以无限迭代，但自然的分形，比如雪花，海岸线，是有限范围内的分形，也就是有个无标度区间。

这种无限嵌套层次结构，就不是一维的线条了，显然，也不能把它当作是二维的平面。在欧几里得几何中，点是0维，线是1维，面是2维，体是3维。面对一根线段，用0维的点尺子去量，就是无限大，因为一条线里的点是无穷多；用2维的平面尺子去量，结果是0，因为线里没有平面，量不出；所以，只能用同维数的尺子量。这样，确定维数就很重要。楼主说的无穷大的出现，就是因为用低维数的尺子去量高维数的对象导致的。这不是悖论，而是尺子用错了。

分形的定义就是：如果一个集合在欧氏空间中的豪斯多夫维数HD大于其拓扑维数rD，则称该集合为分形集，简称分形。可以记为D>Dr，这里，>的含义就是严格大于而不是大于等于。如果把海岸线拉直，就是个线条，不管它有多长；上图中的科赫岛，如果拉直，就是个圆周线。两者的拓扑维都是1维。其实，所谓分形，就是维度不一定是整数的，可以是分数的。

当我们计算一维长度时，a=b±c；计算二维面积时，a=b²；计算三维体积时，a=b³;计算n维体积时，a=bⁿ，此处，n是维数。上图科赫岛分形，长度为1的线段每迭代一次，就变成4根原长度1/3的线段，迭代三次，长度是原来的4倍，线段数和迭代次数可以建立关系式，a=bⁿ，则维数n=loga/logb=log4/log3=1.26。所以，科赫岛的维数就是1.26，也就是大于1维小于2维，满足分形的条件D>Dr。

就测量来说，测度论理论已经是一个比较完善的理论了。勒伯格测度（Lesbegure measure）是测度论里一个重要的部分，勒伯格测度（Lesbegure measure）是赋予欧几里得空间的子集面积、长度、体积的标准方法。像前述的线段三分，取走中间一段开区间，剩下两段闭区间，最后分到点，就是康托尔集，是勒伯格测度为零的不可数集。而所谓豪斯多夫测度，是勒伯格测度的一个推广。豪斯多夫维数就是一个临界点，是豪斯多夫外测度由无穷到零的一个临界点。这个临界点，过了就是零，没过就是无穷大，所以豪斯多夫维数就是正好，就是唯一的那个维数。而那个维数偏偏就是分数，不是整数。但是，曼德布罗特，分形的命名者，分形几何的重要人物，《大自然的分形几何学》作者，偏偏就对豪斯多夫维数有抵触，因为分形本来应该是以豪斯多夫维数来定义的。而曼德布罗特给出的理由似乎也无可辩驳：豪斯多夫维数还是在欧氏空间的拓扑维定义范围内，而“事实并非如此”，拓扑维函数是一个光滑连续的函数，处处可导；而分形并非处处可导，大多是处处不可导。也许，这是曼德布罗特坚持不用豪斯多夫维定义分形，而用fractal（破碎，无规则，随片，分数）来命名分形的缘故吧。我对此还是有点不解。不过，翻译成“分形”，确实更合原意。

老贾

啊哩哩啊 发表于 2021-4-10 00:54
前些天手机上匆匆一瞥，看到有这个问题的讨论，觉得很有趣。今天来说说我的理解，和大家探讨探讨，可能不一 ...

谢谢这位网友的讨论！回头慢慢看

尤美

啊哩哩啊 发表于 2021-4-10 00:54
前些天手机上匆匆一瞥，看到有这个问题的讨论，觉得很有趣。今天来说说我的理解，和大家探讨探讨，可能不一 ...

OMG！！！
每个字都认识，每句话都不懂...........
不过知道知道老贾和酸菜鱼讲的不是一件事，只是有点类似而已~

老贾

尤美 发表于 2021-4-10 07:19
OMG！！！
每个字都认识，每句话都不懂...........
不过知道知道老贾和酸菜鱼讲的不是一件事，只是有点 ...

我也是一直在纠结。

老贾

楼主上述的计算，我感觉有点问题。既然说到分形，大概就不能按这个思路考虑问题。分形的特点是自相似性，无标度性。自相似性是有分层结构的，是个嵌套的层次结构，像楼主给出的那个图形，是科赫岛分形，可以无限迭代；而任何一个细部的放大，不管放大几倍，与原图相比，都是一样的，没有特征尺度却含有一切尺度的要素。数学的分形，可以无限迭代，但自然的分形，比如雪花，海岸线，是有限范围内的分形，也就是有个无标度区间。
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确实，数学的分形是可以无限进行下去的，但现实中的曲线是已经固化了的。

老贾

这种无限嵌套层次结构，就不是一维的线条了，显然，也不能把它当作是二维的平面。在欧几里得几何中，点是0维，线是1维，面是2维，体是3维。面对一根线段，用0维的点尺子去量，就是无限大，因为一条线里的点是无穷多；用2维的平面尺子去量，结果是0，因为线里没有平面，量不出；所以，只能用同维数的尺子量。这样，确定维数就很重要。楼主说的无穷大的出现，就是因为用低维数的尺子去量高维数的对象导致的。这不是悖论，而是尺子用错了。
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对分形的曲线的长度的计算应该是没问题的，雪花曲线的分形计算的周长是发散的，就是可以无穷大；而其围成的面积是收敛的。

老贾

分形的定义就是：如果一个集合在欧氏空间中的豪斯多夫维数HD大于其拓扑维数rD，则称该集合为分形集，简称分形。可以记为D>Dr，这里，>的含义就是严格大于而不是大于等于。如果把海岸线拉直，就是个线条，不管它有多长；上图中的科赫岛，如果拉直，就是个圆周线。两者的拓扑维都是1维。其实，所谓分形，就是维度不一定是整数的，可以是分数的。

当我们计算一维长度时，a=b±c；计算二维面积时，a=b²；计算三维体积时，a=b³;计算n维体积时，a=bⁿ，此处，n是维数。上图科赫岛分形，长度为1的线段每迭代一次，就变成4根原长度1/3的线段，迭代三次，长度是原来的4倍，线段数和迭代次数可以建立关系式，a=bⁿ，则维数n=loga/logb=log4/log3=1.26。所以，科赫岛的维数就是1.26，也就是大于1维小于2维，满足分形的条件D>Dr。
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这是某种数学维度的概念，雪花分形的维度确实是分数。

老贾

就测量来说，测度论理论已经是一个比较完善的理论了。勒伯格测度（Lesbegure measure）是测度论里一个重要的部分，勒伯格测度（Lesbegure measure）是赋予欧几里得空间的子集面积、长度、体积的标准方法。像前述的线段三分，取走中间一段开区间，剩下两段闭区间，最后分到点，就是康托尔集，是勒伯格测度为零的不可数集。而所谓豪斯多夫测度，是勒伯格测度的一个推广。豪斯多夫维数就是一个临界点，是豪斯多夫外测度由无穷到零的一个临界点。这个临界点，过了就是零，没过就是无穷大，所以豪斯多夫维数就是正好，就是唯一的那个维数。而那个维数偏偏就是分数，不是整数。但是，曼德布罗特，分形的命名者，分形几何的重要人物，《大自然的分形几何学》作者，偏偏就对豪斯多夫维数有抵触，因为分形本来应该是以豪斯多夫维数来定义的。而曼德布罗特给出的理由似乎也无可辩驳：豪斯多夫维数还是在欧氏空间的拓扑维定义范围内，而“事实并非如此”，拓扑维函数是一个光滑连续的函数，处处可导；而分形并非处处可导，大多是处处不可导。也许，这是曼德布罗特坚持不用豪斯多夫维定义分形，而用fractal（破碎，无规则，随片，分数）来命名分形的缘故吧。我对此还是有点不解。不过，翻译成“分形”，确实更合原意。
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现实中的测量确实是个问题。数学的分形是否适用于现实的确定的图形，也是个问题。长度概念也许仅存在于数学中，也就是线必须是直线或光滑曲线，而现实的线都是不规则的。就像我们用绳子围住一个图形，如果它是光滑曲线，比如是个圆，那么绳子长度就是其周长。问题是现实中的都是不规则的，绳子围住并收紧后，它是由直线段组成的，每个直线段还可以内嵌，可以无限进行，那么其长度就可以无限大。问题是，现实中的图形是物质组成的，当围到原子、电子时，问题又来了，一个电子的表面是光滑的吗？这时，数学进入了物理学领域，而物理学的宏观理论和微观理论是不同的，按照量子力学的观点，微观世界本身就是不确定的。所以，现实的东西本质是不确定的。现实世界本身就是个悖论。

啊哩哩啊

尤美 发表于 2021-4-10 07:19
OMG！！！
每个字都认识，每句话都不懂...........
不过知道知道老贾和酸菜鱼讲的不是一件事，只是有点 ...

大概是我没说清楚，确实不该写得那么绕，但我相信和他们说的是一回事，起码我敢向你保证，我不是故意的，哈哈

啊哩哩啊

老贾 发表于 2021-4-10 08:08
我也是一直在纠结。

我前些日子在读《大自然的分形几何学》作者是Benoit B.Mandelbrot，挺有意思的一本书。里面就有你所说的这些问题分析，对分形有比较详细的阐述。不知道你有没读过。看到你们也在聊这个，就来凑凑热闹。

啊哩哩啊

老贾 发表于 2021-4-10 18:32
就测量来说，测度论理论已经是一个比较完善的理论了。勒伯格测度（Lesbegure measure）是测度论里一个重要 ...

对你最后一句有意见，哈哈。现实世界是没有悖论的，悖论的出现是解释工具出问题，或者说，是逻辑学理论出问题。数理逻辑的发展，就起始于解决悖论问题。

老贾

啊哩哩啊 发表于 2021-4-11 17:06
我前些日子在读《大自然的分形几何学》作者是Benoit B.Mandelbrot，挺有意思的一本书。里面就有你所说 ...

没看过，有机会一定看看。这是因为酸菜鱼提到雪花分形，俺突然想到了海岸线问题，算是不谋而合吧。这也说明了这的确是个问题，值得研究的问题。

老贾

啊哩哩啊 发表于 2021-4-11 17:08
对你最后一句有意见，哈哈。现实世界是没有悖论的，悖论的出现是解释工具出问题，或者说，是逻辑学理论 ...

我说的悖论应该加个引号。

尤美

啊哩哩啊 发表于 2021-4-11 17:00
大概是我没说清楚，确实不该写得那么绕，但我相信和他们说的是一回事，起码我敢向你保证，我不是故意的 ...

对了，酸菜鱼这题里面有句话一直没想明白为什么，“放大三倍后，只能得到相当于二个原来图型大小的新图型”。落下强迫症了，总是在想为啥，你给讲讲行不？（前面说的都明白，就这句话没想通...）

老贾

尤美 发表于 2021-4-12 01:55
对了，酸菜鱼这题里面有句话一直没想明白为什么，“放大三倍后，只能得到相当于二个原来图型大小的新图型 ...

我来解释一下吧。这个图完全可以看做一维空间的图，所谓扩大三倍就是直线段扩大三倍。再去掉其中三分之一，所以长度扩大了两倍。

尤美

老贾 发表于 2021-4-12 09:22
我来解释一下吧。这个图完全可以看做一维空间的图，所谓扩大三倍就是直线段扩大三倍。再去掉其中三分之一 ...

去掉的三分之一长度总和不是零么？等于没去掉。

老贾

尤美 发表于 2021-4-12 09:54
去掉的三分之一长度总和不是零么？等于没去掉。

你把第二层的左边图形放大三倍，就又得到一个与原图一样的图。

尤美

老贾 发表于 2021-4-12 11:12
你把第二层的左边图形放大三倍，就又得到一个与原图一样的图。

问题是，放大的不是第二层，而是“多次无穷”后的点集合呀~？

诗意天涯

本来一步的距离，用时一秒跨过。
那么，半秒时跨过一半，再1/4秒跨过1/4,再1/8秒跨过1/8,再……无穷细分……
结论：虽然总距离不变,但用时无限，所以，我们永远无法到达。

尤美

诗意天涯 发表于 2021-4-12 12:17
本来一步的距离，用时一秒跨过。
那么，半秒时跨过一半，再1/4秒跨过1/4,再1/8秒跨过1/8,再……无穷细分… ...

但用时无限————————
不是无限，而是无限接近于1秒