感谢小费跟我们分享了一种分形维度的概念。但其中讲到的分至无穷是有问题的,无穷只是数学概念,现实中没有。
小费讲的第一个分形,当分至无穷时,变成了一个点集,其长度为零,不存在放大几倍的问题了。第二个雪花分形则是越分长度越大,分至无穷时,长度也是无穷大了,也不存在放大几倍的问题了。
这就像海岸线问题,如果有人问中国的海岸线有多长,谁能回答?其实没有人能回答,因为海岸线的长度没有确定值(抛开自然变化因素,也可以讨论陆地边境线)。海岸线的长度其实取决于测量的尺子,不同尺度的尺子可以测量出不同的海岸线长度。
比如英国海岸线用100公里作为最小测量长度,那么整条海岸线约为2800公里。但如果用50公里作为最小测量长度,那么海岸线长度则增长到了3400公里。如果最小测量长度继续缩小,那么英国海岸线长度就会继续增加。如果最小测量尺度趋近于无穷小,那么英国海岸线的长度就是无穷大。
这是一个很有意思的悖论,也就是说,被测对象(长度)居然没有确定值,结果取决于测量工具。
三维空间里也有类似问题。有人出过一道题:如何测量一只鸡的表面积?大家有兴趣的话可以讨论一下。
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